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Onde elettromagnetiche

Un po' di storia

Cosa siano le onde elettromagnetiche ora lo sappiamo. Che la luce ne sia una fettina molto piccola pure. Ma, come tante altre cose del resto, qualche tempo fa erano completamente sconosciute. La loro scoperta avvenne alla fine del diciannovesimo secolo, dopo che si era ipotizzato che la luce fosse costituita da onde elastiche. Si pensava che per ogni fenomeno ondulatorio fosse necessario un mezzo che consentisse la propagazione. Per la luce questo mezzo, che permeava tutto lo spazio e non era in altro modo definito, era stato denominato etere.

Nel 1887 Heinrich Hertz (1857-1894) era stato incaricato da Hermann von Helmholtz (il più autorevole fisico tedesco dell' epoca), di verificare le previsioni del fisico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879). Hertz pensò di riuscirci, facendo scoccare una scintilla tra due sfere metalliche. Utilizzò cioè uno strumento allora di uso comune tra i fisici: il rocchetto di Ruhmkorff. Due bobine accoppiate, un trasformatore sostanzialmente, con un primario di poche spire, N1,ed un secondario con moltissime spire, N2. Un interruttore interrompe periodicamente, con elevata frequenza, ad esempio un centinaio di volte al secondo, l'alimentazione in continua del primario. Nel secondario è allora indotta (legge di Faraday) una tensione che sta a quella del primario nel rapporto N2/N1 e che può quindi essere di parecchi kV. Ai terminali del secondario Hertz collegò due sfere metalliche di circa 30 cm di diametro distanti tra loro di circa 1, 5 m. Al centro di esse, collegate ciascuna al filo delle sfere grandi, collocò due piccole sferette, la cui distanza si poteva regolare con una vite micrometrica. Realizzò quello che comunemente è chiamato spinterometro (in greco spinther significa scintilla). Le due sfere grandi erano le armature di un condensatore, e quando la carica su di esse raggiungeva un certo valore, il campo elettrico faceva scoccare una scintilla oscillante tra le sfere piccole. Lo spinterometro è in effetti un circuito oscillatore la cui frequenza caratteristica è data da f=0,159/radQ(L*C) dove C è la capacità della sfera di 30 cm ( C=111*R pf =111*0,15=17 pf) ed L l'induttanza del filo che risulta di circa L= 0.22 microhenry. In definitiva circa f=83 MHz.

fig.1

La scintilla era il generatore delle onde elettromagnetiche previste da Maxwell. Come ricevitore Hertz predispose una spira metallica interrotta per un piccolo tratto. L'eventuale scintilla che si fosse formata tra le estremità della spira interrotta, avrebbe confermato la propagazione dell'onda elettromagnetica attraverso la stanza. Ciò effettivamente avvenne ed Hertz lo comunicò pubblicamente in un discorso tenuto ad Heidelberg il 20 settembre del 1889: "Le scintille sono microscopicamente brevi", disse, " a malapena di un centesimo di millimetro di lunghezza. Durano soltanto un milionesimo di secondo circa. Sembra quasi assurdo ed impossibile che siano visibili; ma in un ambiente perfettamente buio sono visibili ad un occhio che sia stato a riposare per bene nell'oscurità".

Il modo in cui si è arrivati alla scoperta delle onde elettromagnetiche, mostra il legame tra la teoria matematica e l'esperimento. Il teorico e lo sperimentatore sono figure diverse, ma complementari. L'uno deve confermare o giustificare l'altro. La fisica matematica è potente ed affascinante ma è fondamentale riuscire a tradurre le formule nel linguaggio naturale. Uno sperimentatore per eccellenza, Michael Faraday, scriveva nel 1857 a Maxwell: " C'è una cosa che mi piacerebbe chiederle. Quando un matematico impegnato a studiare azioni ed effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non possono queste essere espresse in linguaggio comune in modo altrettanto pieno, chiaro e determinato che se fossero formule matematiche? In caso affermativo, sarebbe un grande aiuto per quelli come noi esprimerle così, traducendole dalla loro forma geroglifica, in modo che possiamo lavorarci sopra con l'esperimento".

Le onde elettromagnetiche scaturirono dalla fisica teorica. Quando una grandezza fisica obbedisce all'equazione delle onde, dal punto di vista matematico essa è certamente un'onda. L'esistenza matematica non garantisce l'esistenza fisica, la quale deve essere provata da prove sperimentali. La natura appare scritta nel linguaggio matematico: non ne sappiamo il perché, ma sembra così. Non esiste però alcuna certezza che ciò che la matematica scopre corrisponda inevitabilmente ad una realtà della natura. Si può forse dire che tutto ciò che è reale è matematico, mentre tutto ciò che è matematico non è necessariamente reale? Con le dovute precisazioni sì. La realtà non si fa ancora catturare completamente dalla matematica, ma la matematica l'avvicina quasi a piacere. E' necessario formulare ipotesi affinché i risultati matematici corrispondano alla realtà. La matematica cioè costruisce un modello del reale tanto più veritiero quanto più le ipotesi sono verificate. Ed i risultati previsti dal modello devono essere verificati nella realtà.

La discussione su questi temi, molto complessa, divenne fondamentale nello studio dell'atomo. Werner Heisenberg si chiedeva: "è vero che possono sorgere in natura soltanto situazioni sperimentali tali da poter essere espresse nei termini del formalismo matematico?" Ed arrivava alla conclusione, nota come principio di indeterminazione, che i concetti classici ad esempio di posizione e di velocità, si adattavano alla natura solo imprecisamente, per cui era impossibile, a livello atomico conoscere con precisione assoluta entrambe quelle caratteristiche di una particella. Il prodotto delle due inesattezze era la costante di Planck divisa per la massa della particella.

Caratteristiche delle onde elettromagnetiche

  • Le onde eletttromagnetiche sono trasversali, cioè i vettori campo elettrico e campo di induzione magnetica B sono perpendicolari alla direzione di propagazione; NB: si chiama in campo magnetico (nei testi di elettrotecnica soprattutto) il vettore H = B/m con m permeabilità magnetica assoluta del materiale, ma per brevità si indica con campo magnetico anche B; dal contesto risulta in generale chiaro di quale delle due grandezze si sta parlando;
  • I vettori campo elettrico K ed induzione magnetica B sono perpendicolari tra loro;
  • il verso di propagazione dell'onda è dato dal verso del vettore che si ottiene eseguendo il prodotto vettoriale tra campo elettrico per induzione magnetica (KxB): un osservatore disposto con la testa nel verso di propagazione, per sovrapporre il vettore campo elettrico al vettore induzione magnetica lo deve ruotare di 90° in senso antiorario;
  • i due campi non sono indipendenti: noto l'uno, l'altro è perfettamente determinato;
  • negli isolanti perfetti, quindi nel vuoto, il campo elettromagnetico, cioè il campo elettrico ed il campo magnetico, indissolubilmente legati, si propagano senza attenuazione, alla velocità della luce che la teoria della relatività ha assunto come massima velocità fisica possibile. La velocità di propagazione del campo elettromagnetico nel vuoto è dunque, per la fisica attuale, una costante universale, indicata con c;
  • nei mezzi conduttori l'attenuazione del campo elettromagnetico è tanto più elevata quanto maggiori sono la frequenza della variazione e la conducibilità e la permeabilità magnetica del mezzo;
  • L'induzione magnetica è data dal rapporto tra il campo elettrico e la velocità della luce :B=K/c

Una dimostrazione

Vediamo ora in che modo dalle equazioni di Maxwell si può dedurre l'esistenza delle onde elettromagnetiche. E' necessario conoscere gli elementi essenziali della matematica dei campi vettoriali, quali la definizione di rotore, di divergenza con l'uso dell'iperatore nabla. Si possono trovare in questo gruppo di lezioni.

Consideriamo il caso di materiali isotropi lineari in cui si possa considerare nulla la densità di carica, quindi nelle ipotesi

Supponiamo esista  una dipendenza dal tempo di K e di H di tipo armonico, esprimibile quindi con

Si ha allora

ed applicando le equazioni di Maxwell si ottengono:

Dalla teoria dei campi vettoriali si ha l’identità

Sostituendo A con H e con K tenendo conto delle precedenti equazioni di Maxwell si hanno:

Posto infine

otteniamo

che sono le equazioni d’onda vettoriali.

Le radici complesse di Z2 hanno la forma Z=a+jb . Quando a e b sono positive Z è detta costante di propagazione.

La parte reale è detta coefficiente di attenuazione

quella immaginaria costante di sfasamento

La costante

 

omogenea con un tempo, è definito tempo di rilassamento.

Onde piane

Le onde piane dipendono da una sola coordinata spaziale. Sia x l'ordinata nella direzione di propagazione. Un'onda piana non ha variazioni secondo gli assi y e z, cioè:

L'equazione delle onde armoniche si riduce in tal caso a

Sia il campo magnetico H che il campo elettrico K non hanno componenti secondo l’asse x, sono cioè entrambi perpendicolari alla direzione di propagazione. Infatti per definizione di rotore e per il fatto che consideriamo campi armonici si ha

da cui tenendo conto dell'ipotesi di onda piana si ottiene per le componenti armoniche del campo magnetico H

In modo simile si ha

le componeti di K sono

I due campi hanno perciò componenti solo secondo y e z.

Se si sceglie il sistema di riferimento in modo che K sia parallelo all'asse z, si ha anche

il che significa per la seconda delle tre equazioni precedenti che

ma la componente di H secondo z è il prodotto scalare tra H steso ed il versore k dell'asse

la condizione perché il prodotto scalare sia zero (scartando ovviamente che H sia identicamente nullo) è che k ed H siano perpendicolari. Quindi H non ha componenti secondo z, e poiché anche secondo x la sua componente è nulla, esiste solo la componente secondo y. Il campo elettrico K è diretto secondo z ed il campo magnetico H diretto secondo y per cui sono tra loro perpendicolari.

In generale la soluzione delle equazioni d'onda si può porre, per onde armoniche, nella forma

  • NB: il segno meno nell'esponenziale sta ad indicare la possibilità di un'onda che si muove in senso opposto al verso di x (onda regressiva)

con : versori del campo magnetico ed elettrico che sono tra loro sempre perpendicolari. La fig. 2 riassume quanto detto, nell'ipotesi precedentemente fatta di scelta degli assi (x: direzione di propagazione; campo elettrico parallelo all'asse z) . Nella figura poi le sinusoidi sono tracciate nell'ulteriore ipotesi che i versori ed si mantengano costanti in direzione e verso e che, nel tempo, si modifichi solo il loro modulo. L'onda si dice in tal caso polarizzata.

fig.2

e, sostituendo Z e considerando le componenti dei campi secondo l'asse di propagazione x si ha

Il rapporto

è detto impedenza intrinseca del mezzo.

La velocità di propagazione è data da

la sua lunghezza d'onda

Isolanti perfetti

Negli isolanti perfetti (ad esempio nel vuoto) essendo nulla la conducibilità, quindi infinito il tempo di rilassamento si ha:

dove si è posto

costante omogenea con una velocità.

Le equazioni dell’onda piana diventano allora

Nel vuoto essendo

si ha

che è la velocità della luce. Le onde elettromagnetiche si propagano nel vuoto alla velocità della luce. Del resto la luce non è altro che un insieme di onde elettromagnetiche comprese in un determinato intervallo di frequenze.

Nota: Ricordiamo che il campo maghetico H è legato all'induzione magnetica da B=m*H. Il rapporto tra campo elettrico e induzione magnetica è dato da c->K/B=c

Conduttori

Nei conduttori come il rame si ha

;

Si ha, per il tempo di rilassamento un valore molto piccolo t=1,6*10-19

Il termine 1/wt è dunque molto maggiore di uno fino a frequenze elevatissime (1016Hz) per cui nelle espressioni di a e b 1 può essere trascurato e si ha

L’ ampiezza dell’onda elettromagnetica in un conduttore si attenuano secondo la legge esponenziale che dipende da a.

Si definisce spessore di penetrazione il valore di x tale per cui a*x=1

Lo si indica con d e si ha allora

(m)

Si può ritenere che il campo si annulli ad una distanza x=5*d

Lo spessore di penetrazione è tanto più piccolo quanto più elevata è la frequenza. Nel rame per una frequenza di 100 MHz si ha d=6,61*10-6m.

In un terreno con g=1, f=50 Hz si ha d=223 m