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Onde Matematiche

Premessa

Sulle equazioni di Maxwell si concludeva osservando che il loop infinito: "Un campo magnetico variabile produce un campo elettrico variabile che produce un campo magnetico variabile che..." era il preludio dell'esistenza delle onde elettromagnetiche. L''obiettivo è ora mostrare, storicamete e teoricamente, come si arriva alla loro scoperta.

Le onde sono un concetto che interessa ogni campo della fisica. Ad esse sono dedicate perciò alcune lezioni che tratteranno la teoria matematica delle onde in generale, la teoria delle onde sonore ed infine quella delle onde elettromagnetiche.

La bibliografia di riferimento:

  • "Le onde e la luce", Alessandro Bettini, Zanichelli, 1993
  • "Elettromagnetismo", Joseph A. Edminister, Etas libri, 1981
  • "L'universo elettrico", David Bodanis, Mondadori 2006
  • "Fisica e filosofia", Werner Heisenberg, Il Saggiatore 1994

Cose generali

Le onde sono un fenomeno naturale a tutti noto. Si va dalle onde di un mare burrascoso, alla semplice increspatura di acque tranquille, dalle onde sonore alle onde sismiche, alle onde elettromagnetiche.

Si ha un'onda quando la caratteristica di un mezzo si modifica in un punto e la modifica si estende agli altri punti del mezzo. Non è la materia a spostarsi, ma la perturbazione. Il mezzo materiale è solo un supporto, tra l'altro anche non necessario come nel caso delle onde elettromagnetiche. Perturbazione significa che le caratterista assume un valore diverso dall'equilibrio, e propagazione che lo spostamento dall'equilibrio interessa posizioni sempre più distanti da quella originaria. La velocità di propagazione, detta anche celerità da cui il simbolo c adottato per la velocità della luce, è di determinazione più difficoltosa rispetto a quella di un punto materiale, anche se intuitivamente la si comprende.

L' onda è qualcosa di più sfuggente di un corpo materiale. Su un corpo materiale i nostri occhi e la nostra attenzione possono concentrarsi, e possiamo dire (o concepire) dov'è anche se si muove . L'onda invece è destinata ad uscire dal nostro campo visivo dopo averlo completamente occupato e non c'è possibilità di dire dove sia pur potendo dire cos'è, cosa la provoca e cosa essa provoca.

Le onde inoltre sono un importante veicolo che trasporta energia e, con essa, anche informazione.

"Campi ed onde" è il titolo di un classico testo di fisica: l'Alonso-Finn. Indica il legame esistente tra i campi di forza, la realtà immateriale percepita e concepita da Faraday, trattata teoricamente da Maxwell approfondita da Einstein ed approdata alla fisica quantistica, dove onda e particella, così separate e diverse nel mondo macroscopico, finiscono per confondersi ed unirsi nella descrizione del mondo microscopico.

L'onda matematica

Di ogni grandezza o fenomeno fisico si cerca la legge matematica. Spesso la si trova pur con inevitabili ipotesi che ne definiscono i limiti di validità. Se una funzione del tempo e dello spazio è esprimibile, nel caso della dipendenza da un'unica coordinata spaziale, con

F(x,t) = f(x + vt)  OE. 1

fig. oe. 2

essa rappresenta un’onda che si propaga nella direzione+ x (-vt) (onda progressiva) o –x (+vt) (onda regressiva) . Nel caso specifico si tratta di un’onda piana. La sola x sta a significare che la proprietà in esame è indipendente dalle altre due coordinate spaziali (y e z). Cioè essa è identica per tutti i punti di ogni piano perpendicolare all'asse di propagazione, x.

L’onda è dunque una funzione dello spazio e del tempo, cioè una proprietà dello spazio che varia nel tempo in modo che il valore esistente in un certo punto x1 in un dato istante t1 lo si ritrova nell’istante t2>t1 nel punto . Quindi “la proprietà” si sposta nello spazio alla velocità v.

Un osservatore fermo in un punto vede “la proprietà” variare nel tempo. Una “foto” istantanea dello spazio in cui la “proprietà” si manifesta mostra una “struttura spaziale” della stessa. Un osservatore che si sposta con la velocità v vedrebbe “la proprietà” immutabile.

La funzione illustrata risulta essere soluzione di una equazione matematica detta, per questo, equazione d'onda. Derivando infatti la oe.1 due volte rispetto al tempo si ottiene:

mentre derivandola due volte rispetto ad x otteniamo

Poiché f'' (x+ v*t) è la derivata seconda di f rispetto alla variabile a=x+ v*t, cioè d2f/da2, essa è identica nelle due espressioni. Sussiste pertanto l’identità

oe.3

che è nota come equazione d’onda scalare di un'onda piana (o in una dimensione).

La o.e3 permette la seguente considerazione: quando una qualsiasi grandezza fisica F dipende dal tempo e dallo spazio secondo leggi che consentono di pervenire, mediante manipolazioni matematiche, all’equazione d’onda scalare, la grandezza F corrisponde ad un’onda che si propaga nello spazio in direzione di x (e/o –x).

Onde armoniche progressive

Consideriamo una funzione particolare del tipo descritto.

F(x,t) = A*cos(w*t - k*x) = A*cos(w*(t - (k/w)*x))

oe.4

E' chiamata onda monocromatica (od armonica). E' illustrata nella fig. oe.5: una sinusoide che trasla nel tempo nella direzione delle x positive. E' dunque un' onda progressiva. Non è difficile verificare che essa soddisfa all'equazione d'onda. La derivata seconda rispetto al tempo è -A*w2*cos(w*t - k*x) mentre quella rispetto ad x è -A*k2*cos(w*t - k*x). Sostituendo in oe.3

-A*k2*cos(w*t - k*x) = (1/v2)*(- A*w2*cos(w*t - k*x) )

Effettuate le semplificazioni si ha come velocità dell'onda v = w/k.
Si chiama fase l'argomento della funzione sinusoidale: fase ( x ,t)= w*t - k*x.
Si chiama velocità di fase, vf , la velocità con cui si muove un qualsiasi punto dell'onda, ad esempio un massimo. Essa è data dalla derivata di x rispetto a t con fase costante. Poiché dunque consideriamo fase ( x ,t )= costante si ha x=(w/k)*t - costante, quindi dx/d t= vf= w/k = v : la velocità di fase è la velocità dell'onda.
Quando la velocità di fase è costante il mezzo si dice non dispersivo. La costante k è detta numero d'onda . La lunghezza d'onda è il prodotto della velocità di fase per il periodo temporale T = 2p/w. Qunidi l = vf*T = 2p/k.

(NB: ha senso parlare di velocità di fase solo per questo tipo di onde).

fig. oe.5

Nota: Spesso è comodo scrivere la oe.4 in notazione complessa: F(x,t) = Re(A*ej(w*t-k* x )) o, più brevemente, F(x,t)=A*ej(w*t-k*x ) = A*ejwt*e-jkx sottintendendo che, dell'espressione complessa, si deve considerare la parte reale. La derivata prima rispetto a t è dF/dt = j w*F(x,t); quella rispetto ad x: dF/dx=-jk*F(x,t) la derivata seconda rispetto a t è uguale a d2F/dt2 = j w*j w*F(x,t)= - w2* F(x,t); mentre rispetto ad x è uguale a

d2F/dx2 = -j k*(-jk)*F(x,t)=-k2*F(x,t).

Per funzioni di questo tipo l'equazione d'onda si può scrivere allora in questo modo

eq1

A k si dà il nome di costante di propagazione. Nei casi esaminati l'ampiezza A è costante e K risulta un numero reale. Ma se l'ampiezza dipende da x la costante di propagazione diventa un numero complesso. Supponiamo ad esempio che decresca con legge esponenziale: A=A0*e-ax.

Si scriverà allora F(x,t) = A0*e-ax*ejwt*e-jbx= A0*ejwt*e- (a+jb)x= A0*ejwt*e-Zx con Z=a+jb. Derivando due volte rispetto ad x:

dF/dx=-Z*F(x,t)

d2F/dx2 = -Z *(-Z)*F(x,t)=Z2*F(x,t)

Per cui l'equazione d'onda può scriversi

eqom1

Se la grandezza è funzione di tutte le coordinate spaziali, invece che della sola x, cioè F=F(x,y,z,t) e si propaga in una certa direzione con velocità v essa è soluzione dell'equazione

Se l'onda è piana, cioè se su piani perpendicolari alla direzione di propagazione il valore di F è costante, scelto il sistema di riferimento con l'asse x orientato nella direzione di propagazione, la precedente equazione diventa identica a oe.3 in quanto le derivate parziali rispetto agli altri due assi sono nulle. Una sua soluzione è sempre l'onda monocromatica.

Nel caso in cui l'onda si propaghi in una direzione che non coincida con alcuno degli assi del sistema di riferimento cartesiano, s'introduce il prodotto scalare
tra il vettore con modulo k, direzione e verso uguali alla direzione e verso di propagazione dell'onda stessa, ed il vettore r congiungente il punto considerato con l'origine del sistema di riferimento. L'equazione d'onda assume, quindi, una validità generale qualunque sia il sistema di riferimento adottato. La oe.3 si modifica allora così:

oe.6

dove, kx, k y, kz ed X, Y, Z sono le coordinate dei vettori k ed r.

fig. oe.7

Se F è armonica e se si ha una diminuzione dell'ampiezza l'equazione d'onda diventa

con Z costante di propagazione.

Nulla vieta che F sia una grandezza vettoriale. Quindi che sia

relazione vettoriale che corrisponde alle tre relazioni scalari

Ogni componente del vettore soddisfa all'equazione d'onda.

Come produrre un'onda progressiva

Ci sono molti modi per produrre onde. Gettare un sasso nell'acqua; muovere l'estremità di una corda; far vibrare nell'aria un oggetto. Far oscillare una carica elettrica. E così via. Studiando il fenomeno fisico ed interpretandolo matematicamente, si arriva a scrivere, per una certa grandezza che descrive il fenomeno, una delle equazioni che abbiamo chiamate equazioni d'onda: ciò implica, come abbiamo detto, l'esistenza di onde. Vediamo il processo nel caso delle onde sonore.