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Onde Sonore

 

Se una corda od una membrana vibrano con una certa frequenza, od eseguono un qualsiasi altro movimento, il movimento dell'oggetto sposta una parte dell'aria che lo circonda, con conseguente variazione locale di densità e pressione. Sono in genere variazioni molto piccole rispetto ai valori d'equilibrio, ma proprio queste lievi differenze generano il suono. La differenza di pressione nelle vicinanze del corpo vibrante, provoca lo spostamento dell'aria adiacente per cui la variazione di pressione si propaga allontanandosi dalla sorgente: è l'onda sonora che, colpendo il timpano genera il processo fisico che, nell'orecchio, produce la sensazione di ciò che chiamiamo suono.

Consideriamo un volume di aria piccolo, ma comprendente un grandissimo numero di molecole. Ci si può allora disinteressare del moto di agitazione termica delle singole molecole e valutarne il moto medio. Supponiamo che le variazioni di pressione e di densità siano piccole rispetto ai valori d'equilibrio che indicheremo con p0 e r0 . Le ipotesi fatte restringono il campo di validità di ciò che si troverà, ma all'interno di questo campo, ci sono proprio le onde sonore. Le ipotesi portano a considerare solo lunghezze d'onda molto maggiori della distanza intermolecolare ed escludono gli spostamenti d'aria dovuti ad esplosioni od al passaggio di aerei supersonici.

Applicando le leggi

  • della dinamica (forza, f, uguale a massa, m, per accelerazione, a -> f=ma);
  • di conservazione della massa;
  • dei gas
    • (equazione di stato:il prodotto della pressione, p, per il volume specifico, V, è proporzionale al prodotto della quantità di gas , n: numero di moli, per la temperatura assoluta, T -> pV=nRT; dove R è la costante universale dei gas;
    • la legge che definisce una trasformazione adiabatica reversile, in quanto si può ritenere non avvenga passaggio di calore tra una zona compressa dove la temperatura è più alta al zona più rarefatta. La distanza che separa le due zone (mezza lunghezza d'onda) è nettamente superiore, per ipotesi, al cammino medio delle molecole. Il tempo che intercorre tra una rarefazione ed una compressione non è perviò sufficiente a far sì che le molecole "calde" urtino quelle "fredde" trasferendo calore. Una trasformazione adiabatica reversibile obbedisce alla legge: pVg=costante dove g è il rapporto tra il calore specifico a pressione costante, cp, e quello a volume costante, cv).

si arriva a stabilire che la perturbazione corripondente allo spostamento di una massa d'aria è una funzione dello spazio e del tempo F(x,y,z,t) che soddisfa all'equazione delle onde. Vediamo come.

Consideriamo dunque il volume di aria costituito da un parallelepipedo di spessore molto piccolo dx con le facce di area S perpendicolari ad x, ed immaginiamo che le molecole che lo costituiscono si muovano tutte insieme parallelamente all'asse x. Ciò equivale a considerare la loro posizione dipendente solo da x oltre che dal tempo. La massa d'aria che esso contiene è m = r0* S*dx. Le variazioni di densità siano dovute ad una traslazione delle facce S nel senso delle x. L'entità di questa traslazione dipende dalla posizione, x, e dal tempo, t: è dunque una funzione incognita, F(x,t).

Ricordiamo che la piccola variazione di una funzione (infinitesima= tendente a zero; matematicamente: il differenziale) può essere calcolata moltiplicando la piccola variazione della variabile indipendente per la derivata della funzione rispetto a quella variabile. Il che significa che nell'intorno del punto l'andamento della funzione può essere confuso, quindi sostituito, dalla retta tangente, in altre parole linearizzato. Nel nostro caso sarà cioè

 

fig.0e.8

In condizioni di equilibrio (pareti S ferme; densità costante: r=r0; pressione costante: p=p0) il volume del parallelepipedo è V=S*dx; quando le pareti si spostano, la prima di F(x,t), la seconda di F(x+dx,t), per cui la differenza tra i due spostamenti è dF, la variazione di volume è data da

La stessa massa d'aria (conservazione della massa) m è ora contenuta nel volume

Varia dunque la densità; quindi la pressione per le leggi dei gas che stabiliscono un legame tra pressione e densità, quindi una funzione del tipo p=p(r), come gia detto, del resto. La nuova densità è data da

dove il passaggio finale è valido in quanto gli spostamenti che consideriamo, quindi anche le loro variazioni dF/dx, sono molto piccoli ( 1/(1+s)=(1-s)/(1+s2) se s è piccolo e si può trascurare s2 ). La variazione di densità è esprimibile con

Linearizzando la dipendenza della pressione dalla densità, essendo piccole le variazioini, permette di considerale la variazione di pressione proporzionale alla variazione di densità

oe.9

con K costante di proporzionalità che altro non è che la derivata della pressione rispetto alla densità, in quantosi può calcolare in base alle leggi dei gas, in precedenza citate. Linearizzando la legge, nell'intorno del punto di equilibrio corrispondente alla pressione p0 (che supporremo quella atmosferica), la costante di proporzionalità è la derivata di p rispetto a r, calcolata nel punto di equilibrio , cioè per r=r0 per quanto detto più sopra:

In base alle leggi dei gas

si ha allora

Sulla massa d'aria del volume agisce una forza data dalla differenza tra la pressione esistente sulle due facce S, pressione che risulta a sua volta, come F, funzione di x e di t: p=p(x,t). La differenza di pressione si può perciò scrivere anche così (sempre per la stessa ragione)

ed in base alla oe.9

La differenza di pressione, moltiplicata per la superficie S, dà la forza complessiva agente sul volume d'aria considerato la cui accelerazione è data da

Per la seconda legge della dinamica si ha in definitiva

cioè, semplificando

che è l'equazione di un'onda che si sposta nella direzione positiva di x alla velocità

Si ha per l'aria

  • g=1,4;
  • p0=1.01x105 Pa;
  • r0=1,29 kg/m3

quindi

c=332 m/s

in accordo con i risultati sperimentali.